Euklids Elemente Buch I

1. Das Dreieck ABC sei gleichschenklig mit AB gleich AC. Behauptung: Die Basiswinkel ABC, ACB sind gleich, und verlängert man die gleichen Seiten, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie gleich. (Beim Ziehen bewegt sich C auf dem Kreis um A, so dass die Schenkel gleich bleiben.)
2. Man verlängere AB, AC geradlinig zu BD, CE.

   Postulat 2

   Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
3. Auf BD nehme man einen beliebigen Punkt F an (er lässt sich ziehen) und trage auf der größeren AE die Strecke AG gleich AF ab.

   Proposition I.3

   Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
4. Man ziehe FC, GB.

   Postulat 1

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
5. Da AF gleich AG und AB gleich AC ist, sind die zwei Seiten FA, AC den zwei Seiten GA, AB gleich, und sie umfassen den gemeinsamen Winkel FAG; also ist die Grundlinie FC gleich der Grundlinie GB, das Dreieck AFC gleich dem Dreieck AGB, und die übrigen Winkel sind gleich: ACF gleich ABG und AFC gleich AGB.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
6. Da die ganze AF gleich der ganzen AG ist und davon AB gleich AC, ist der Rest BF gleich dem Rest CG.

   Axiom 3

   Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
7. Wie gezeigt, ist FC gleich GB; also sind die zwei Seiten BF, FC den zwei Seiten CG, GB gleich, der Winkel BFC ist gleich dem Winkel CGB, und die Grundlinie BC ist gemeinsam; also ist das Dreieck BFC gleich dem Dreieck CGB, und die übrigen Winkel sind gleich: FBC gleich GCB und BCF gleich CBG.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
8. Wie gezeigt, ist der ganze Winkel ABG gleich dem ganzen Winkel ACF, und davon ist der Winkel CBG gleich BCF; also ist der übrige Winkel ABC gleich dem übrigen Winkel ACB, und sie liegen an der Grundlinie. Ferner ist der Winkel FBC gleich GCB, und sie liegen unter der Grundlinie.

   Axiom 3

   Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.

Das war zu beweisen.