साध्य I.5 · प्रमेय
समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के कोण परस्पर बराबर होते हैं, और बराबर रेखाओं को आगे बढ़ाने पर आधार के नीचे के कोण भी परस्पर बराबर होते हैं।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB, AC के बराबर है। दावा: आधार-कोण ABC, ACB बराबर हैं, और बराबर भुजाओं को बढ़ाने पर आधार के नीचे के कोण भी बराबर होते हैं। (C को खींचने पर वह A केंद्र वाले वृत्त पर चलता है, इसलिए दोनों भुजाएँ बराबर रहती हैं।)
- AB, AC को सीध में बढ़ाकर BD, CE बनाइए।अभिगृहीत 2अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।
- BD पर कोई भी बिंदु F लीजिए (इसे खींचा जा सकता है), और बड़ी AE में से AF के बराबर AG काटिए।साध्य I.3साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।
- FC, GB मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि AF, AG के बराबर है और AB, AC के, इसलिए दो भुजाएँ FA, AC दो भुजाओं GA, AB के बराबर हैं और उभयनिष्ठ कोण FAG बनाती हैं; अतः आधार FC आधार GB के बराबर है, त्रिभुज AFC त्रिभुज AGB के बराबर है, और शेष कोण बराबर हैं: ACF, ABG के और AFC, AGB के।साध्य I.4साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
- चूँकि पूरा AF पूरे AG के बराबर है, और इनमें AB, AC के बराबर है, इसलिए शेष BF शेष CG के बराबर है।स्वयंसिद्ध 3स्वयंसिद्ध 3: यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं।
- FC, GB के बराबर सिद्ध हो चुका है; अतः दो भुजाएँ BF, FC दो भुजाओं CG, GB के बराबर हैं, कोण BFC कोण CGB के बराबर है, और आधार BC उभयनिष्ठ है; इसलिए त्रिभुज BFC त्रिभुज CGB के बराबर है, और शेष कोण बराबर हैं: FBC, GCB के और BCF, CBG के।साध्य I.4साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
- पूरा कोण ABG पूरे कोण ACF के बराबर सिद्ध हुआ, और इनमें कोण CBG कोण BCF के बराबर है; इसलिए शेष कोण ABC शेष कोण ACB के बराबर है, और ये आधार पर हैं। साथ ही कोण FBC कोण GCB के बराबर है, और ये आधार के नीचे हैं।स्वयंसिद्ध 3स्वयंसिद्ध 3: यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं।
यही सिद्ध करना था।