Proposición I.5 · Teorema
En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se prolongan las rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
- Sea ABC un triángulo isósceles con AB igual a AC. Se afirma que los ángulos de la base ABC, ACB son iguales y que, si se prolongan los lados iguales, los ángulos bajo la base también son iguales. (Al arrastrar C se mueve por el círculo de centro A, así que los dos lados siguen siendo iguales.)
- Prolónguense AB, AC en línea recta, formando BD, CE.Postulado 2Postulado 2: Prolongar continuamente en línea recta una recta finita.
- Tómese en BD un punto cualquiera F (puedes arrastrarlo) y de la mayor AE quítese AG igual a AF.Proposición I.3Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
- Trácense FC, GB.Postulado 1Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
- Como AF es igual a AG y AB a AC, los dos lados FA, AC son iguales a los dos lados GA, AB y comprenden el ángulo común FAG; por tanto la base FC es igual a la base GB, el triángulo AFC es igual al triángulo AGB, y los ángulos restantes son iguales: ACF a ABG, y AFC a AGB.Proposición I.4Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
- Como AF entera es igual a AG entera, y de ellas AB es igual a AC, el resto BF es igual al resto CG.Noción común 3Noción común 3: Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
- Se demostró que FC es igual a GB; así los dos lados BF, FC son iguales a los dos lados CG, GB, el ángulo BFC es igual al ángulo CGB, y la base BC es común; por tanto el triángulo BFC es igual al triángulo CGB, y los ángulos restantes son iguales: FBC a GCB, y BCF a CBG.Proposición I.4Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
- Se demostró que el ángulo entero ABG es igual al ángulo entero ACF, y de ellos el ángulo CBG es igual a BCF; por tanto el ángulo restante ABC es igual al ángulo restante ACB, y están en la base. Además, el ángulo FBC resultó igual a GCB, y están bajo la base.Noción común 3Noción común 3: Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
Que es lo que había que demostrar.