Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.6 · Lehrsatz

Wenn in einem Dreieck zwei Winkel einander gleich sind, dann sind auch die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten einander gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Im Dreieck ABC sei der Winkel ABC gleich dem Winkel ACB. Behauptung: Auch die Seite AB ist gleich der Seite AC. (Ziehen an A ändert beide Basiswinkel zugleich; sie bleiben gleich.)
  2. Wäre AB ungleich AC, so wäre eine von beiden größer; AB sei die größere. Auf der größeren AB trage man DB gleich der kleineren AC ab. (D ist so gezeichnet, wie diese Annahme es verlangen würde.)
    Proposition I.3
    Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
  3. Man ziehe DC.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  4. Da DB gleich AC ist und BC gemeinsam, sind die zwei Seiten DB, BC den zwei Seiten AC, CB gleich, und der Winkel DBC ist gleich dem Winkel ACB; also ist die Grundlinie DC gleich der Grundlinie AB und das Dreieck DBC gleich dem Dreieck ACB.
    Proposition I.4
    Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
  5. Dann wäre das kleinere Dreieck DBC dem größeren ACB gleich, was absurd ist, denn das Ganze ist größer als der Teil. Also ist AB nicht ungleich AC, sondern gleich.
    Axiom 5
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.