Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.6 · Théorème

Si dans un triangle deux angles sont égaux entre eux, les côtés qui sous-tendent les angles égaux seront aussi égaux entre eux.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Dans le triangle ABC, soit l'angle ABC égal à l'angle ACB. Je dis que le côté AB est aussi égal au côté AC. (En déplaçant A, les deux angles à la base changent ensemble et restent égaux.)
  2. Si AB n'était pas égale à AC, l'une serait plus grande ; soit AB la plus grande. Retranchons de la plus grande AB la droite DB égale à la plus petite AC. (D est placé comme le voudrait cette supposition.)
    Proposition I.3
    Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
  3. Menons DC.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  4. Puisque DB est égale à AC et que BC est commune, les deux côtés DB, BC sont égaux aux deux côtés AC, CB, et l'angle DBC est égal à l'angle ACB ; donc la base DC est égale à la base AB, et le triangle DBC est égal au triangle ACB.
    Proposition I.4
    Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
  5. Ainsi le plus petit triangle DBC serait égal au plus grand ACB, ce qui est absurde, car le tout est plus grand que la partie. Donc AB n'est pas inégale à AC ; elle lui est égale.
    Notion commune 5
    Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.