命題 I.6 · 定理
三角形の 2 つの角が互いに等しければ、等しい角に対する辺も互いに等しい。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- 三角形 ABC において角 ABC が角 ACB に等しいとする。主張：辺 AB も辺 AC に等しい。（A をドラッグすると 2 つの底角が同時に変わり、等しいままです。）
- AB が AC に等しくないなら、一方が大きい。AB の方が大きいとする。大きい AB から、小さい AC に等しい DB を切り取る。（D はこの仮定のもとでの位置に描いてあります。）命題 I.3命題 I.3：等しくない 2 直線が与えられたとき、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。
- DC を結ぶ。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- DB は AC に等しく、BC は共通だから、2 辺 DB、BC は 2 辺 AC、CB に等しく、角 DBC は角 ACB に等しい。よって底辺 DC は底辺 AB に等しく、三角形 DBC は三角形 ACB に等しい。命題 I.4命題 I.4：2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、等しい直線にはさまれた角が等しいならば、底辺も底辺に等しく、三角形は三角形に等しく、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい。
- すると小さい三角形 DBC が大きい三角形 ACB に等しくなるが、全体は部分より大きいのでこれは不合理である。よって AB は AC に等しくないことはなく、等しい。公理 5公理 5：全体は部分より大きい。
これが証明すべきことであった。