أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليُعمل على الخط AB، من طرفيه A، B، خطان AC، CB يلتقيان عند النقطة C. فنقول: إنه لا يمكن أن يُعمل في الجهة نفسها من AB، من A، B، خطان آخران AD، DB يلتقيان عند نقطة أخرى D، بحيث يكون AD مساويًا لـ AC وDB مساويًا لـ CB.
2. فإن أمكن، فليكن AD مساويًا لـ AC وDB مساويًا لـ CB، وD نقطة أخرى في الجهة نفسها. (لا يمكن رسم مثل هذه D حقًا؛ وD المرسومة مجرد تخطيط يمكنك سحبه.)
3. نصل CD. فلأن AC مساوٍ لـ AD، تكون الزاوية ACD مساوية للزاوية ADC.

   المصادرة 1القضية I.5

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.

   القضية I.5: زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان، وإذا أُخرج الضلعان المتساويان كانت الزاويتان تحت القاعدة متساويتين.
4. فالزاوية ADC أعظم من الزاوية DCB؛ فالزاوية CDB أعظم كثيرًا من الزاوية DCB.

   العلم المتعارف 5

   العلم المتعارف 5: الكل أعظم من الجزء.
5. ولأن CB مساوٍ لـ DB، تكون الزاوية CDB مساوية للزاوية DCB. وقد تبيّن أنها أعظم منها كثيرًا، وهذا محال. فلا وجود لمثل هذه D.

   القضية I.5

   القضية I.5: زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان، وإذا أُخرج الضلعان المتساويان كانت الزاويتان تحت القاعدة متساويتين.
6. ولرؤية ذلك مباشرة: الدائرة التي مركزها A ونصف قطرها AC، والدائرة التي مركزها B ونصف قطرها BC، لا تلتقيان في هذه الجهة من AB إلا عند C.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.