Предложение I.7 · Теорема
На одной и той же прямой нельзя построить из её концов и по одну сторону от неё две другие прямые, встречающиеся в другой точке и равные соответственно двум данным прямым, встречающимся в одной точке.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть на прямой AB из её концов A, B построены две прямые AC, CB, встречающиеся в точке C. Утверждается, что по ту же сторону от AB нельзя построить из A, B две другие прямые AD, DB, встречающиеся в другой точке D, так чтобы AD была равна AC, а DB равна CB.
- Допустим, что можно: пусть AD равна AC, а DB равна CB, причём D — другая точка по ту же сторону. (Такую D на самом деле нарисовать нельзя; показанная D — лишь набросок, её можно перетаскивать.)
- Проведём CD. Так как AC равна AD, угол ACD равен углу ADC.Постулат 1Предложение I.5Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.Предложение I.5: У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
- Значит, угол ADC больше угла DCB; следовательно, угол CDB тем более больше угла DCB.Аксиома 5Аксиома 5: И целое больше части.
- С другой стороны, так как CB равна DB, угол CDB равен углу DCB. Но доказано, что он гораздо больше, а это невозможно. Значит, такой D не существует.Предложение I.5Предложение I.5: У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
- Наглядно: окружность с центром A и радиусом AC и окружность с центром B и радиусом BC пересекаются по эту сторону от AB только в точке C.
Что и требовалось доказать.