Proposition I.7 · Théorème
Sur une même droite, on ne peut construire, à partir de ses extrémités et du même côté, deux autres droites qui se rencontrent en un autre point et soient égales, chacune à chacune, à deux droites données qui se rencontrent en un point.
Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
- Sur la droite AB, construisons à partir de ses extrémités A, B deux droites AC, CB qui se rencontrent au point C. Je dis que, du même côté de AB, on ne peut construire à partir de A, B deux autres droites AD, DB se rencontrant en un autre point D, avec AD égale à AC et DB égale à CB.
- Supposons-le possible : soit AD égale à AC et DB égale à CB, D étant un autre point du même côté. (Un tel D ne peut pas vraiment être tracé ; le D affiché n'est qu'une esquisse, que vous pouvez déplacer.)
- Menons CD. Puisque AC est égale à AD, l'angle ACD est égal à l'angle ADC.Demande 1Proposition I.5Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.Proposition I.5 : Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entre eux et, si l'on prolonge les droites égales, les angles sous la base seront égaux entre eux.
- Donc l'angle ADC est plus grand que l'angle DCB ; donc l'angle CDB est beaucoup plus grand que l'angle DCB.Notion commune 5Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.
- D'autre part, puisque CB est égale à DB, l'angle CDB est égal à l'angle DCB. Mais on a montré qu'il est beaucoup plus grand, ce qui est impossible. Un tel D n'existe donc pas.Proposition I.5Proposition I.5 : Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entre eux et, si l'on prolonge les droites égales, les angles sous la base seront égaux entre eux.
- Pour le voir directement : le cercle de centre A et de rayon AC et le cercle de centre B et de rayon BC ne se coupent, de ce côté de AB, qu'en C.
Ce qu'il fallait démontrer.