Proposition I.7 · Lehrsatz
Über derselben Strecke kann man nicht von ihren Endpunkten aus auf derselben Seite zwei andere Strecken errichten, die sich in einem anderen Punkt treffen und zwei gegebenen, in einem Punkt zusammentreffenden Strecken entsprechend gleich sind.
Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
- Über der Strecke AB seien von ihren Endpunkten A, B aus zwei Strecken AC, CB errichtet, die sich im Punkt C treffen. Behauptung: Auf derselben Seite von AB lassen sich von A, B aus nicht zwei andere Strecken AD, DB errichten, die sich in einem anderen Punkt D treffen, mit AD gleich AC und DB gleich CB.
- Angenommen, es gehe: AD sei gleich AC und DB gleich CB, wobei D ein anderer Punkt auf derselben Seite ist. (Ein solches D lässt sich in Wahrheit nicht zeichnen; das gezeigte D ist nur eine Skizze und lässt sich ziehen.)
- Man ziehe CD. Da AC gleich AD ist, ist der Winkel ACD gleich dem Winkel ADC.Postulat 1Proposition I.5Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,Proposition I.5: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich, und verlängert man die gleichen Strecken, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie einander gleich.
- Also ist der Winkel ADC größer als der Winkel DCB; also ist der Winkel CDB erst recht größer als der Winkel DCB.Axiom 5Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.
- Andererseits ist, da CB gleich DB ist, der Winkel CDB gleich dem Winkel DCB. Er wurde aber als viel größer erwiesen, was unmöglich ist. Ein solches D gibt es also nicht.Proposition I.5Proposition I.5: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich, und verlängert man die gleichen Strecken, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie einander gleich.
- Unmittelbar sieht man es so: Der Kreis um A mit Radius AC und der Kreis um B mit Radius BC schneiden sich auf dieser Seite von AB nur in C.
Das war zu beweisen.