Proposición I.7 · Teorema
Sobre una misma recta no se pueden construir, desde sus extremos y del mismo lado, otras dos rectas que se encuentren en otro punto y sean iguales respectivamente a dos rectas dadas que se encuentran en un punto.
Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
- Sobre la recta AB constrúyanse, desde sus extremos A, B, dos rectas AC, CB que se encuentran en el punto C. Se afirma que del mismo lado de AB no pueden construirse desde A, B otras dos rectas AD, DB que se encuentren en otro punto D, con AD igual a AC y DB igual a CB.
- Supóngase posible: sea AD igual a AC y DB igual a CB, con D un punto distinto del mismo lado. (Tal D no puede dibujarse de verdad; el D que se ve es solo un esbozo y puedes arrastrarlo.)
- Trácese CD. Como AC es igual a AD, el ángulo ACD es igual al ángulo ADC.Postulado 1Proposición I.5Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.Proposición I.5: En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se prolongan las rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
- Por tanto el ángulo ADC es mayor que el ángulo DCB; luego el ángulo CDB es mucho mayor que el ángulo DCB.Noción común 5Noción común 5: El todo es mayor que la parte.
- De nuevo, como CB es igual a DB, el ángulo CDB es igual al ángulo DCB. Pero se demostró que era mucho mayor, lo cual es imposible. Así que tal D no existe.Proposición I.5Proposición I.5: En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí y, si se prolongan las rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
- Para verlo directamente: el círculo de centro A y radio AC y el círculo de centro B y radio BC se cortan de este lado de AB solo en C.
Que es lo que había que demostrar.