命題 I.7 · 定理
同じ直線上に、その両端から同じ側に、1 点で交わる 2 直線にそれぞれ等しく、別の点で交わる 2 直線を作ることはできない。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- 直線 AB の上に、両端 A、B から 2 直線 AC、CB を作り、点 C で交わるとする。主張：AB の同じ側に、A、B から別の点 D で交わる 2 直線 AD、DB を、AD が AC に、DB が CB に等しくなるように作ることはできない。
- できたと仮定する。AD が AC に、DB が CB に等しく、D は同じ側の別の点とする。（そのような D は実際には描けません。表示の D は説明用の仮の点で、ドラッグできます。）
- CD を結ぶ。AC は AD に等しいから、角 ACD は角 ADC に等しい。公準 1命題 I.5公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。命題 I.5：二等辺三角形の底角は互いに等しく、等しい 2 直線を延長すれば、底辺の下の角も互いに等しい。
- よって角 ADC は角 DCB より大きい。ゆえに角 CDB は角 DCB よりはるかに大きい。公理 5公理 5：全体は部分より大きい。
- また CB は DB に等しいから、角 CDB は角 DCB に等しい。しかしはるかに大きいことが示されたので、これは不可能である。よってそのような D は存在しない。命題 I.5命題 I.5：二等辺三角形の底角は互いに等しく、等しい 2 直線を延長すれば、底辺の下の角も互いに等しい。
- 直接見るなら：A を中心とし AC を半径とする円と、B を中心とし BC を半径とする円は、AB のこちら側では C だけで交わる。
これが証明すべきことであった。