Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.8 · Lehrsatz

Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und auch die Grundlinie der Grundlinie gleich ist, dann sind auch die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. In den Dreiecken ABC, DEF sei AB gleich DE, AC gleich DF und die Grundlinie BC gleich der Grundlinie EF. Behauptung: Der Winkel BAC ist gleich dem Winkel EDF. (Ziehen Sie F, um das Dreieck DEF zu drehen.)
  2. Man lege das Dreieck ABC so auf das Dreieck DEF, dass der Punkt B auf den Punkt E und die Strecke BC auf EF fällt. Da BC gleich EF ist, fällt der Punkt C auf F.
  3. Deckt BC die Strecke EF, so decken auch BA und AC die Strecken ED und DF. Sonst fielen sie daneben, etwa als EG, GF; dann gäbe es über derselben Strecke EF auf derselben Seite zwei andere Strecken, die sich in einem anderen Punkt treffen und den beiden von denselben Endpunkten gezogenen gleich sind, was unmöglich ist.
    Proposition I.7
    Proposition I.7: Über derselben Strecke kann man nicht von ihren Endpunkten aus auf derselben Seite zwei andere Strecken errichten, die sich in einem anderen Punkt treffen und zwei gegebenen, in einem Punkt zusammentreffenden Strecken entsprechend gleich sind.
  4. Also deckt der Winkel BAC den Winkel EDF und ist ihm gleich.
    Axiom 4
    Axiom 4: Was einander deckt, ist einander gleich.