Proposition I.8 · Théorème
Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et la base égale à la base, ils auront aussi égaux les angles compris par les droites égales.
Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
- Soient ABC, DEF deux triangles où AB est égale à DE, AC égale à DF, et la base BC égale à la base EF. Je dis que l'angle BAC est égal à l'angle EDF. (Déplacez F pour faire tourner le triangle DEF.)
- Appliquons le triangle ABC sur le triangle DEF, le point B sur le point E et la droite BC sur EF. Puisque BC est égale à EF, le point C coïncidera avec F.
- BC coïncidant avec EF, BA et AC coïncideront aussi avec ED et DF. Sinon elles tomberaient à côté, comme EG, GF ; alors sur la même droite EF, du même côté, il y aurait deux autres droites se rencontrant en un autre point et égales aux deux menées des mêmes extrémités, ce qui est impossible.Proposition I.7Proposition I.7 : Sur une même droite, on ne peut construire, à partir de ses extrémités et du même côté, deux autres droites qui se rencontrent en un autre point et soient égales, chacune à chacune, à deux droites données qui se rencontrent en un point.
- Donc l'angle BAC coïncide avec l'angle EDF et lui est égal.Notion commune 4Notion commune 4 : Les choses qui coïncident entre elles sont égales entre elles.
Ce qu'il fallait démontrer.