साध्य I.8 · प्रमेय
यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और आधार भी आधार के बराबर हो, तो बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर होंगे।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए त्रिभुजों ABC, DEF में AB, DE के बराबर है, AC, DF के बराबर है, और आधार BC आधार EF के बराबर है। दावा: कोण BAC कोण EDF के बराबर है। (त्रिभुज DEF को घुमाने के लिए F को खींचिए।)
- त्रिभुज ABC को त्रिभुज DEF पर इस प्रकार रखिए कि बिंदु B बिंदु E पर पड़े और सरल रेखा BC, EF पर। चूँकि BC, EF के बराबर है, इसलिए बिंदु C बिंदु F से संपाती होगा।
- BC के EF से संपाती होने पर BA, AC भी ED, DF से संपाती होंगी। वरना वे बगल में EG, GF की तरह पड़तीं; तब उसी सरल रेखा EF पर, उसी ओर, दो अन्य सरल रेखाएँ किसी अन्य बिंदु पर मिलतीं और उन्हीं सिरों से खींची गई दो रेखाओं के बराबर होतीं, जो असंभव है।साध्य I.7साध्य I.7: एक ही सरल रेखा पर, उसके सिरों से और उसी ओर, एक बिंदु पर मिलने वाली दो दी गई रेखाओं के क्रमशः बराबर ऐसी दो अन्य रेखाएँ नहीं बनाई जा सकतीं जो किसी अन्य बिंदु पर मिलें।
- इसलिए कोण BAC कोण EDF से संपाती है और उसके बराबर है।स्वयंसिद्ध 4स्वयंसिद्ध 4: जो वस्तुएँ एक-दूसरे से संपाती हों, वे परस्पर बराबर होती हैं।
यही सिद्ध करना था।