ユークリッド原論 第1巻

定義 23 · 公準 5 · 公理 5 · 命題 48

命題 I.8 · 定理

2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、さらに底辺も底辺に等しければ、等しい直線にはさまれた角も等しい。

赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
  1. 三角形 ABC、DEF において、AB が DE に、AC が DF に、底辺 BC が底辺 EF に等しいとする。主張：角 BAC は角 EDF に等しい。（F をドラッグすると三角形 DEF が回転します。）
  2. 三角形 ABC を三角形 DEF に重ね、点 B を点 E に、直線 BC を EF に重ねる。BC は EF に等しいから、点 C は F と一致する。
  3. BC が EF と一致すれば、BA、AC も ED、DF と一致する。さもなければ EG、GF のようにずれて落ち、同じ直線 EF の上の同じ側に、同じ両端から引いた 2 直線に等しく別の点で交わる 2 直線があることになり、不可能である。
    命題 I.7
    命題 I.7：同じ直線上に、その両端から同じ側に、1 点で交わる 2 直線にそれぞれ等しく、別の点で交わる 2 直線を作ることはできない。
  4. よって角 BAC は角 EDF と一致し、それに等しい。
    公理 4
    公理 4：互いに重なり合うものは、互いに等しい。