Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.9 · Aufgabe

Einen gegebenen geradlinigen Winkel zu halbieren.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Der gegebene geradlinige Winkel sei der Winkel BAC. Man soll ihn halbieren.
  2. Auf AB nehme man einen beliebigen Punkt D an (Sie können ihn ziehen).
  3. Von AC trage man AE gleich AD ab.
    Proposition I.3
    Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
  4. Man ziehe DE.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  5. Über DE errichte man das gleichseitige Dreieck DEF, wobei F auf der von A abgewandten Seite liegt.
    Proposition I.1
    Proposition I.1: Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten.
  6. Man ziehe AF. Behauptung: Der Winkel BAC wird von der Strecke AF halbiert.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  7. Da AD gleich AE ist und AF gemeinsam ist, sind die zwei Seiten DA, AF den zwei Seiten EA, AF entsprechend gleich; auch ist die Grundlinie DF gleich der Grundlinie EF; also ist der Winkel DAF gleich dem Winkel EAF. Damit ist der gegebene geradlinige Winkel BAC von der Strecke AF halbiert.
    Proposition I.8
    Proposition I.8: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und auch die Grundlinie der Grundlinie gleich ist, dann sind auch die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich.