Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.9 · Problème

Partager en deux parties égales un angle rectiligne donné.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit l'angle BAC l'angle rectiligne donné. Il faut le partager en deux parties égales.
  2. Prenons sur AB un point quelconque D (vous pouvez le déplacer).
  3. Retranchons de AC la droite AE égale à AD.
    Proposition I.3
    Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
  4. Menons DE.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  5. Sur DE, construisons le triangle équilatéral DEF, avec F du côté opposé à A.
    Proposition I.1
    Proposition I.1 : Sur une droite finie donnée, construire un triangle équilatéral.
  6. Menons AF. Je dis que l'angle BAC est partagé en deux parties égales par la droite AF.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  7. Puisque AD est égale à AE et que AF est commune, les deux côtés DA, AF sont égaux aux deux côtés EA, AF, chacun à chacun ; et la base DF est égale à la base EF ; donc l'angle DAF est égal à l'angle EAF. L'angle rectiligne donné BAC est donc partagé en deux parties égales par la droite AF.
    Proposition I.8
    Proposition I.8 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et la base égale à la base, ils auront aussi égaux les angles compris par les droites égales.