Начала Евклида Книга I

23 определения · 5 постулатов · 5 аксиом · 48 предложений

Предложение I.9 · Задача

Данный прямолинейный угол рассечь пополам.

Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
  1. Пусть угол BAC — данный прямолинейный угол. Требуется рассечь его пополам.
  2. Возьмём на AB произвольную точку D (её можно перетаскивать).
  3. Отнимем от AC прямую AE, равную AD.
    Предложение I.3
    Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
  4. Проведём DE.
    Постулат 1
    Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
  5. Построим на DE равносторонний треугольник DEF так, чтобы точка F лежала по другую сторону от A.
    Предложение I.1
    Предложение I.1: На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.
  6. Проведём AF. Утверждается, что угол BAC рассечён пополам прямой AF.
    Постулат 1
    Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
  7. Так как AD равна AE, а AF общая, то две стороны DA, AF равны соответственно двум сторонам EA, AF; и основание DF равно основанию EF; значит, угол DAF равен углу EAF. Итак, данный прямолинейный угол BAC рассечён пополам прямой AF.
    Предложение I.8
    Предложение I.8: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и основание, равное основанию, то они будут иметь и угол, заключённый между равными прямыми, равный углу.